北师大版:八年级数学上册重要知识点

第一章 勾股定理

1、勾股定理

直角三角形两直角边a,b的平方和等于斜边c的平方,即a2+b2=c2。

2、勾股定理的逆定理

如果三角形的三边长a,b,c有这种关系,那么这个三角形是直角三角形。

3、勾股数

满足的三个正整数,称为勾股数。

常见的勾股数组有:(3,4,5);(5,12,13);(8,15,17);(7,24,25);(20,21,29);(9,40,41);……(这些勾股数组的倍数仍是勾股数)

第二章 实数

1、实数的概念及分类

①实数的分类

②无理数

无限不循环小数叫做无理数。

在理解无理数时,要抓住“无限不循环”这一时之,归纳起来有四类:开方开不尽的数,如 √7 ,3 √2等;有特定意义的数,如圆周率π,或化简后含有π的数,如π /₃+8等;有特定结构的数,如0.1010010001…等;某些三角函数值,如sin60°等

2、实数的倒数、相反数和绝对值

①相反数

实数与它的相反数是一对数(只有符号不同的两个数叫做互为相反数,零的相反数是零),从数轴上看,互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称,如果a与b互为相反数,则有a+b=0,a=-b,反之亦成立。

②绝对值

在数轴上,一个数所对应的点与原点的距离,叫做该数的绝对值。|a|≥0。0的绝对值是它本身,也可看成它的相反数,若|a|=a,则a≥0;若|a|=-a,则a≤0。

③倒数

如果a与b互为倒数,则有ab=1,反之亦成立。倒数等于本身的数是1和-1。0没有倒数。

④数轴

规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴(画数轴时,要注意上述规定的三要素缺一不可)。

解题时要真正掌握数形结合的思想,理解实数与数轴的点是一一对应的,并能灵活运用。

⑤估算

3、平方根、算数平方根和立方根

①算术平方根

一般地,如果一个正数x的平方等于a,即x2=a,那么这个正数x就叫做a的算术平方根。特别地,0的算术平方根是0。

性质:正数和零的算术平方根都只有一个,0的算术平方根是0。

②平方根一般地,如果一个数x的平方等于a,即x2=a,那么这个数x就叫做a的平方根(或二次方根)。性质:一个正数有两个平方根,它们互为相反数;零的平方根是零;负数没有平方根。开平方求一个数a的平方根的运算,叫做开平方。注意 √a的双重非负性:√a≥0 ; a≥0

③立方根一般地,如果一个数x的立方等于a,即x3=a,那么这个数x就叫做a 的立方根(或三次方根)。表示方法:记作 3 √a性质:一个正数有一个正的立方根;一个负数有一个负的立方根;零的立方根是零。注意:- 3 √a=3 √-a,这说明三次根号内的负号可以移到根号外面。

4、实数大小的比较

①实数比较大小

正数大于零,负数小于零,正数大于一切负数;

数轴上的两个点所表示的数,右边的总比左边的大;

两个负数,绝对值大的反而小。

②实数大小比较的几种常用方法数轴比较:在数轴上表示的两个数,右边的数总比左边的数大。求差比较:设a、b是实数 a-b>0↔a>b; a-b=0↔a=b; a-b<0↔a<b 。求商比较法:设a、b是两正实数,绝对值比较法:设a、b是两负实数,则∣a∣>∣b∣↔a<b。平方法:设a、b是两负实数,则 a2>b2↔a<b 。

5、算术平方根有关计算(二次根式)

①含有二次根号“ √ ”;被开方数a必须是非负数。

②性质:

③运算结果若含有“ √ ”形式,必须满足:被开方数的因数是整数,因式是整式被开方数中不含能开得尽方的因数或因式

6、实数的运算

①六种运算:加、减、乘、除、乘方 、开方。

②实数的运算顺序

先算乘方和开方,再算乘除,最后算加减,如果有括号,就先算括号里面的。

③运算律

加法交换律 a+b= b+a

加法结合律 (a+b)+c= a+( b+c )

乘法交换律 ab= ba

乘法结合律 (ab)c = a( bc )

乘法对加法的分配律 a( b+c )=ab+ac

第三章 位置与坐标

1、确定位置

在平面内,确定物体的位置一般需要两个数据。

2、平面直角坐标系及有关概念

①平面直角坐标系

在平面内,两条互相垂直且有公共原点的数轴,组成平面直角坐标系。其中,水平的数轴叫做x轴或横轴,取向右为正方向;铅直的数轴叫做y轴或纵轴,取向上为正方向;x轴和y轴统称坐标轴。它们的公共原点O称为直角坐标系的原点;建立了直角坐标系的平面,叫做坐标平面。

②坐标轴和象限

为了便于描述坐标平面内点的位置,把坐标平面被x轴和y轴分割而成的四个部分,分别叫做第一象限、第二象限、第三象限、第四象限。

注意:x轴和y轴上的点(坐标轴上的点),不属于任何一个象限。

③点的坐标的概念对于平面内任意一点P,过点P分别x轴、y轴向作垂线,垂足在上x轴、y轴对应的数a,b分别叫做点P的横坐标、纵坐标,有序数对(a,b)叫做点P的坐标。点的坐标用(a,b)表示,其顺序是横坐标在前,纵坐标在后,中间有“,”分开,横、纵坐标的位置不能颠倒。平面内点的坐标是有序实数对,(a,b)和(b,a)是两个不同点的坐标。平面内点的与有序实数对是一一对应的。

④不同位置的点的坐标的特征

a、各象限内点的坐标的特征点P(x,y)在第一象限→ x>0,y>0点P(x,y)在第二象限 → x<0,y>0点P(x,y)在第三象限 → x<0,y<0点P(x,y)在第四象限 → x>0,y<0

b、坐标轴上的点的特征点P(x,y)在x轴上 → y=0,x为任意实数点P(x,y)在y轴上 → x=0,y为任意实数点P(x,y)既在x轴上,又在y轴上→ x,y同时为零,即点P坐标为(0,0)即原点

c、两条坐标轴夹角平分线上点的坐标的特征点P(x,y)在第一、三象限夹角平分线(直线y=x)上 → x与y相等点P(x,y)在第二、四象限夹角平分线上 → x与y互为相反数

d、和坐标轴平行的直线上点的坐标的特征位于平行于x轴的直线上的各点的纵坐标相同。位于平行于y轴的直线上的各点的横坐标相同。

e、关于x轴、y轴或原点对称的点的坐标的特征点P与点p’关于x轴对称 横坐标相等,纵坐标互为相反数,即点P(x,y)关于x轴的对称点为P’(x,-y)点P与点p’关于y轴对称 纵坐标相等,横坐标互为相反数,即点P(x,y)关于y轴的对称点为P’(-x,y)点P与点p’关于原点对称,横、纵坐标均互为相反数,即点P(x,y)关于原点的对称点为P’(-x,-y)

f、点到坐标轴及原点的距离

点P(x,y)到坐标轴及原点的距离:点P(x,y)到x轴的距离等于 ∣y∣点P(x,y)到y轴的距离等于 ∣x∣点P(x,y)到原点的距离等于 √x2+y2

3、坐标变化与图形变化的规律

第四章 一次函数

1、函数

一般地,在某一变化过程中有两个变量x与y,如果给定一个x值,相应地就确定了一个y值,那么我们称y是x的函数,其中x是自变量,y是因变量。

2、自变量取值范围

使函数有意义的自变量的取值的全体,叫做自变量的取值范围。一般从整式(取全体实数),分式(分母不为0)、二次根式(被开方数为非负数)、实际意义几方面考虑。

3、函数的三种表示法及其优缺点关系式(解析)法

两个变量间的函数关系,有时可以用一个含有这两个变量及数字运算符号的等式表示,这种表示法叫做关系式(解析)法。列表法

把自变量x的一系列值和函数y的对应值列成一个表来表示函数关系,这种表示法叫做列表法。图象法

用图象表示函数关系的方法叫做图象法。

4、由函数关系式画其图像的一般步骤列表:列表给出自变量与函数的一些对应值。描点:以表中每对对应值为坐标,在坐标平面内描出相应的点。连线:按照自变量由小到大的顺序,把所描各点用平滑的曲线连接起来。

5、正比例函数和一次函数

①正比例函数和一次函数的概念一般地,若两个变量x,y间的关系可以表示成y=kx+b (k,b为常数,k不等于 0)的形式,则称y是x的一次函数(x为自变量,y为因变量)。特别地,当一次函数y=kx+b中的b=0时(k为常数,k 不等于0),称y是x的正比例函数。

②一次函数的图像:

所有一次函数的图像都是一条直线。

③一次函数、正比例函数图像的主要特征一次函数y=kx+b的图像是经过点(0,b)的直线;正比例函数y=kx的图像是经过原点(0,0)的直线。

④正比例函数的性质

一般地,正比例函数 有下列性质:当k>0时,图像经过第一、三象限,y随x的增大而增大;当k<0时,图像经过第二、四象限,y随x的增大而减小。

⑤一次函数的性质

一般地,一次函数 有下列性质:当k>0时,y随x的增大而增大;当k<0时,y随x的增大而减小。

⑥正比例函数和一次函数解析式的确定确定一个正比例函数,就是要确定正比例函数定义式y=kx(k 不等于0)中的常数k。确定一个一次函数,需要确定一次函数定义式y=kx+b(k 不等于0)中的常数k和b。解这类问题的一般方法是待定系数法.

⑦一次函数与一元一次方程的关系任何一个一元一次方程都可转化为:kx+b=0(k、b为常数,k≠0)的形式.而一次函数解析式形式正是y=kx+b(k、b为常数,k≠0).当函数值为0时,即kx+b=0就与一元一次方程完全相同.结论:由于任何一元一次方程都可转化为kx+b=0(k、b为常数,k≠0)的形式.所以解一元一次方程可以转化为:当一次函数值为0时,求相应的自变量的值.从图象上看,这相当于已知直线y=kx+b确定它与x轴交点的横坐标值.

第五章 二元一次方程组

1、二元一次方程

①二元一次方程

含有两个未知数,并且所含未知数的项的次数都是1的整式方程叫做二元一次方程。

②二元一次方程的解

适合一个二元一次方程的一组未知数的值,叫做这个二元一次方程的一个解。

2、二元一次方程组

①含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程,叫做二元一次方程组。

②二元一次方程组的解

二元一次方程组中各个方程的公共解,叫做这个二元一次方程组的解。

③二元一次方程组的解法代入(消元)法加减(消元)法

④一次函数与二元一次方程(组)的关系:一次函数与二元一次方程的关系:

直线y=kx+b上任意一点的坐标都是它所对应的二元一次方程kx- y+b=0的解一次函数与二元一次方程组的关系:

二元一次方程组

的解可看作两个一次函数

和 的图象的交点。

当函数图象有交点时,说明相应的二元一次方程组有解;

当函数图象(直线)平行即无交点时,说明相应的二元一次方程组无解。

第六章 数据的分析

1、刻画数据的集中趋势(平均水平)的量:平均数 、众数、中位数

2、平均数平均数:一般地,对于n个数,我们把它们的和与n之商叫做这n个数的算术平均数,简称平均数。加权平均数。

3、众数

一组数据中出现次数最多的那个数据叫做这组数据的众数。

4、中位数

一般地,将一组数据按大小顺序排列,处于最中间位置的一个数据(或最中间两个数据的平均数)叫做这组数据的中位数。

第七章 平行线的证明

1、平行线的性质

一般地,如果两条线互相平行的直线被第三条直线所截,那么同位角相等,内错角相等,同旁内角互补.

也可以简单的说成:两直线平行,同位角相等;两直线平行,内错角相等;两直线平行,同旁内角互补。

2、判定平行线

两条直线被第三条直线所截,如果同位角相等,那么这两条直线平行.

也可以简单说成:同位角相等两直线平行 两条直线被第三条直线所截,如果同位角相等,那么这两条直线平行;如果同旁内角互补,那么这两条直线平行.

其他两条可以简单说成:内错角相等两直线平行同旁内角相等两直线平行

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